1.6  Prostorové grupy v mineralogii

1.6.1  Značení prostorových grup

1.6.2  Vlastnosti prostorových grup

1.6.3  Asymetrická jednotka prostorové grupy

1.6.4  Ekvivalentní polohy

1.6.5  Mezinárodní krystalografické tabulky

Prostorová grupa je množina prvků symetrie, jejichž operace jsou realizovány v trojrozměrném prostoru. Jedná se o kombinaci všech možných transformací krystalové struktury, takže prostorová grupa charakterizuje souměrnost struktury krystalu tak, jako bodová grupa charakterizuje souměrnost vnějšího krystalového tvaru (viz též kapitola 1.3.3.3.).

Jejich celkový počet 230 zahrnuje všechny kombinace translačních i beztranslačních prvků symetrie, které jsou přípustné ve 14 Bravaisových mřížkách. Prvky symetrie prostorové grupy mají v prostoru základní buňky určitou polohu a orientaci.

Ke každé bodové grupě náleží několik prostorových grup. Prostorové grupy odvozené od určité bodové grupy jsou s touto bodovou grupou izogonální, tedy zachovávají úhlové vztahy mezi operacemi symetrie výchozí bodové grupy. Odvození bodové grupy z prostorové provedeme odstraněním všech translací (skluzové roviny nahradíme rovinami symetrie a šroubové osy zaměníme za rotační osy symetrie) a vzniklé beztranslační prvky převedeme do jednoho bodu beze změny orientace.  

 1.6.1  Značení prostorových grup

Prostorové grupy jsou podobně jako bodové označovány buď symboly Schoenfliesovými nebo mezinárodními (Hermannovýmí – Mauguinovými). Podle Schoenfliesova značení se symbol prostorové grupy skládá ze symbolu bodové grupy, s níž je prostorová grupa izogonální a z pořadového indexu. Např. O⁹_h značí devátou grupu krystalografického oddělení O_h.

V mezinárodním značení se používají čtyři symboly. První je písmeno označující typ mříže (P, A, B, C, F, I, R) a za ním následuje trojice symbolů definujících prvky symetrie, které byly kombinovány s translacemi mřížky při vytváření prostorové grupy. Pořadí těchto symbolů se vztahuje k významným směrům (viz kapitola 1.5.1.1.) v dané soustavě.

Jako příklad můžeme uvést bodovou grupu C₂ k níž náleží prostorové grupy C¹₂, C²₂, C³₂ (obrázek 16-1). Zvolíme-li orientaci dvojčetné osy ve směru hrany y základní buňky, má úplný symbol grupy C¹₂ tvar P121; jestliže bude osa 2 orientována podél hrany z, potom C¹₂ = P112. Analogicky k tomu bude C²₂ buď P12₁1 nebo P112₁ a C³₂ buď C121 (centrování stěn v rovině xy) nebo B112 (centrování stěn v rovině xz).

1.6.2  Vlastnosti prostorových grup

Vlastnosti prostorových grup jsou odvozeny z přítomných prvků a operací symetrie, které definují jednotlivé strukturní pozice. Tyto jsou v reálných strukturách obsazovány konkrétními atomy, ionty nebo celými stavebními jednotkami. Princip stanovení typu jednotlivých pozic je předveden na následujícím příkladu.

Prostorová grupa Pmm2 obsahuje dva systémy rovin symetrie a v jejich průsečících systém dvojčetných rotačních os symetrie. Aplikací všech operací symetrie na bod v pozici x,y,z vzniknou body x,-y,z; -x,y,z a -x,-y,z a rovněž ekvivalentní body jako x,1-y,z; 1-x,y,z a 1-x,1-y,z (obrázek 16-2). V základní buňce vzniknou pozice, které mají stejné vlastnosti – stejnou polohu a stejný vztah k prvkům symetrie. Počet takových ekvivalentních pozic se označuje jako multiplicita základní buňky. Ve zvoleném příkladě má výchozí bod x,y,z multiplicitu 4. Tato pozice nemá ve své poloze žádná omezení – má tři stupně volnosti a je označována jako pozice obecná. Obecná pozice je soubor ekvivalentních bodů s bodovou symetrií 1 (porovnej s analogií v bodových grupách, kapitola 1.5.4.1.). Obecná pozice je asymetrická, což na obrázku 16-2 indikuje čárka na kruhu.

Pokud posuneme bod z obecné polohy x,y,z na rovinu symetrie v ½,y,z, splynou díky této rovině dva body v bod jediný ½,y,z (obrázek 16-3). Zároveň body x,1-y,z a 1-x,1-y,z splynou v jediný bod ½,1-y,z. Z původně čtyřčetné obecné pozice získáme dvojčetnou speciální pozici. Speciální pozice nejsou asymetrické – mají bodovou symetrii vyšší než 1 (v tomto případě m). Speciální pozice je soubor ekvivalentních bodů s bodovou symetrií vyšší než 1 (porovnej s analogií v bodových grupách, kapitola 1.5.4.2.). Tato speciální pozice má stupeň volnosti 2. Pokud bod zůstane na rovině symetrie, je jeho multiplicita konstantní.

Poslední možností je posunout bod ½,y,z na dvojčetnou osu ½,½,z. Pak dva body ½,y,z a ½,1-y,z splynou do bodu ½,½,z (obrázek 16-4). Této speciální pozici zůstane pouze jeden stupeň volnosti (může se posunovat po ose). Bodová symetrie pozice vzroste na mm2 a multiplicita klesne na 1. Podobné pozice jsou 0,0,z; ½,0,z a 0,½,z. Některé bodové grupy mají speciální polohy bez jediného stupně volnosti, příkladem může být střed inverze.

Všechny pozice, které existují v grupě Pmm2, jsou v následujícím výčtu:

• Obecná pozice – stupeň volnosti 3 – multiplicita 4 – symetrie 1 – ekvivalentní body x,y,z; x,-y,z; -x,y,z a -x,-y,z.

• Speciální pozice – stupeň volnosti 2 – multiplicita 2 – symetrie m – ekvivalentní body ½,y,z a ½,-y,z.

• Speciální pozice – stupeň volnosti 2 – multiplicita 2 – symetrie m – ekvivalentní body 0,y,z a 0,-y,z.

• Speciální pozice – stupeň volnosti 2 – multiplicita 2 – symetrie m – ekvivalentní body x,½,z a –x,½,z.

• Speciální pozice – stupeň volnosti 2 – multiplicita 2 – symetrie m – ekvivalentní body x,0,z a -x,0,z.

• Speciální pozice – stupeň volnosti 1 – multiplicita 1 – symetrie mm2 – ekvivalentní body ½,½,z.

• Speciální pozice – stupeň volnosti 1 – multiplicita 1 – symetrie mm2 – ekvivalentní body ½,0,z.

• Speciální pozice – stupeň volnosti 1 – multiplicita 1 – symetrie mm2 – ekvivalentní body 0,½,z.

• Speciální pozice – stupeň volnosti 1 – multiplicita 1 – symetrie mm2 – ekvivalentní body 0,0,z.

Mezi počtem ploch obecného krystalového tvaru bodové grupy a multiplicitou obecné pozice odpovídající prostorové grupy existuje jednoduchý vztah. V prostorové grupě s P-mřížkou je multiplicita obecné pozice rovna počtu ploch obecného krystalového tvaru bodové grupy. V prostorových grupách s C-, A- a I-mřížkou je multiplicita obecné pozice dvakrát větší než počet ploch obecného krystalového tvaru a u F-mřížky čtyřikrát vyšší.

Pokud bodová grupa obsahuje střed symetrie, všechny odpovídající prostorové grupy budou centrosymetrické.

1.6.3  Asymetrická jednotka prostorové grupy

Asymetrická jednotka prostorové grupy je nejmenší část základní buňky, ze které může být sestavena kompletní prostorová mřížka aplikací všech dostupných operací symetrie. Objem asymetrické jednotky je dán podílem objemu základní buňky a multiplicity obecné pozice. Libovolné dva body uvnitř asymetrické jednotky nejsou spojeny žádnou operací symetrie. Asymetrická jednotka prostorové grupy obsahuje všechny informace nezbytné k úplnému popisu krystalové struktury.

Asymetrická jednotka prostorové grupy P2/m má objem limitovaný 0≤x≤½; 0≤y≤½; 0≤z≤1. Její objem je ¼ základní buňky, takže multiplicita obecné pozice musí být 4 (obrázek 16-5).

1.6.4  Ekvivalentní polohy

Umístíme-li libovolný bod do obecné polohy, bude operacemi prostorové grupy opakován tolikrát, kolik operací tato prostorová grupa obsahuje. Umístíme-li však bod do speciální polohy, bude počet symetricky sdružených (ekvivalentních) poloh menší, neboť se některé ztotožní. Počet ekvivalentních poloh dané skupiny symetricky sdružených poloh se nazývá obor. V krystalové struktuře je počet atomů v buňce určen právě tímto oborem skupiny ekvivalentních bodů. Pro označení skupiny ekvivalentních poloh se udává (obrázek 16-6):

1. Obor skupiny, tj. počet vzájemně ekvivalentních poloh.

2. Wyckoffův symbol skupiny ekvivalentních poloh. Toto značení začíná písmenem a u nejspeciálnější polohy (s nejmenším oborem) a postupuje podle abecedy až k obecné poloze.

3. Bodová symetrie výchozí (i ekvivalentní) polohy

4. Souřadnice ekvivalentních poloh vzhledem ke krystalografickým osám

Wyckoffův symbol slouží především k rozlišení poloh se stejným oborem a stejnou symetrií. Polohy označené zlomky jsou pevně fixovány symetrií krystalu, zatímco souřadnice x, y, z se mohou v jednotlivých krystalech lišit (obrázek 16-6). Jelikož určují polohy atomů, označují se jako atomové parametry.

1.6.5  Mezinárodní krystalografické tabulky

Mezinárodní krystalografické tabulky jsou závaznou publikací Mezinárodní unie pro krystalografii (IUC) a je v nich publikován souhrn důležitých vlastností všech 230 bodových grup. Informace jsou uspořádány následovně (obrázek 16-7):

1. Krátký symbol grupy, Schoenfliesův symbol, bodová grupa, krystalový systém, číslo prostorové grupy, plný symbol prostorové grupy.

2. Projekce prvků symetrie dané grupy na x,y,0, počátek v levém horním rohu.

3. Projekce obecných pozic na x,y,0 s osovým systémem jako v předchozím případě. Prázdný kroužek označuje bod, svisle přeškrtnutý kroužek označuje bod nad jiným bodem a svisle přeškrtnutý s čárkou uvnitř značí bod odvozený operací symetrie. Souřadnice z je vyznačena.

4. Informace o výběru počátku

5. Omezení asymetrické jednotky v základní buňce

6. Operace symetrie dané prostorové grupy

7. Obecné a spaciální polohy:  

• sl.1. multiplicita polohy

• sl.2. Wyckoffův symbol odpovídající polohy

• sl.3. bodová symetrie polohy v pořadí krystalograficky významných směrů

• sl.4. souřadnice ekvivalentních bodů polohy  

  ---

  Zpět na hlavní stránku