2.4 Popis krystalografických oddělení (bodových grup)

K označení každého krystalového oddělení (bodové grupy) je použito mezinárodního Hermann - Mauguinova symbolu. Závislosti mezi prvky symetrie jsou graficky vyjádřeny stereogramem (Gadolinovou projekcí). Póly ploch horní poloviny krystalu jsou značeny křížkem, póly ploch dolní poloviny krystalu prázdným kroužkem. Pokud leží dvě plochy nad sebou (v horní i dolní části krystalu) je to vyjádřeno křížkem v kroužku. Označení prvků symetrie odpovídá mezinárodnímu značení (viz obrázek 24-1).

Zastoupení minerálů v jednotlivých soustavách není rovnoměrné, nejvíce je minerálů s vysokou symetrií, přibližné zastoupení uvádí přehled:

triklinická 2%
monoklinická 21%
rombická 20%
tetragonální 12%
hexagonální 19%
kubická 26%

Největší počet minerálních druhů je zastoupen v holoedrickém oddělení každé soustavy.

2.4.1 Soustava triklinická

Krystaly triklinické soustavy se vztahují ke krystalografickému kříži se třemi nezávislými osami a, b, c, které svírají zcela obecné úhly (obrázek 24-2). Pro orientaci triklinických krystalů v prostoru jsou obvykle dodržována tato základní pravidla:

Nejvýraznější zóna je vertikální; osa této zóny je totožná s krystalografickou osou c.
Tvar {001} se svažuje dopředu doprava
Ve vertikální zóně mohou být vybrány dva tvary - jeden jako {100} a druhý jako {010}. Směr os a a b je pak určen protnutím těchto tvarů. Osa b by měla být delší než osa a.

Obecně by mělo pro mřížkové parametry platit, že c₀ < a₀ < b₀ a všechny úhly jsou tupé.

2.4.1.1 Oddělení triklinicky pinakoidální (symbol –1)

Jediným prvkem symetrie tohoto oddělení je střed symetrie (jednočetná inverzní osa symetrie), viz stereogram. Obecným tvarem oddělení je otevřený krystalový tvar – pinakoid. Pinakoid je tvořen dvěma identickými paralelními plochami. Je-li krystal orientován vzhledem k souřadným osám, Millerovy indexy pinakoidu určují jeho pozici:

jednoúsekové pinakoidy {100}, {010} a {001}. Každý z těchto pinakoidů protíná jednu krystalografickou osu a s ostatními je rovnoběžný (obrázek 24-3). Pinakoid a (přední) protíná osu a; pinakoid b (boční) protíná osu b; pinakoid c (bazální) protíná osu c.
dvojúsekové pinakoidy {0kl}, {h0l} a {hk0}. Tvar {0kl} je rovnoběžný s osou a a může být pozitivní {0kl} nebo negativní {0-kl}; tvar {h0l} je rovnoběžný s osou b a může být pozitivní {h0l} nebo negativní {-h0l}; tvar {hk0} je paralelní s osou c a je pozitivní {hk0} nebo negativní {h-k0}, vše viz obrázek 24-4.
trojúsekový pinakoid {hkl}. Tvar {hkl} je pozitivní pravý, {h-kl} je pozitivní levý, {hk-l} je negativní pravý a {h-k-l} je negativní levý. Každý z těchto dvojplochých tvarů se může vyskytovat nezávisle na jiném (obrázek 24-5).

V tomto oddělení krystalují např. chalkantit (modrá skalice), mikroklin, plagioklasy, rodonit, wollastonit a další.

2.4.1.2 Oddělení triklinicky pediální (symbol 1)

V tomto oddělení není přítomen žádný prvek symetrie, krystaly z tohoto oddělení jsou zcela asymetrické (viz stereogram). Obecným a zároveň jediným tvarem je pedion – jednoplochý, otevřený krystalový tvar.

Pediony můžeme rozlišit na tři základní typy:

Trojúsekové pediony typu {hkl} – celkem osm možných (obrázek 24-6).
Dvojúsekové pediony typu {hk0}, {h0l}, {0kl} – celkem dvanáct možných (obrázek 24-7).
Jednoúsekové pediony typu {100} – celkem šest možných – {100},{-100},{010},{0-10},{001},{00-1}, viz obrázek 24-8.

Příkladem minerálu krystalizujícího v tomto oddělení je axinit.

2.4.2 Soustava monoklinická

Krystaly s monoklinickou symetrií se vztahují ke třem nestejnocenným osám, úhly a a g jsou 90° (obrázek 24-9). Ve většině krystalů je úhel b (mezi osami a, c) větší než 90°, někdy je velmi blízký této hodnotě (např. staurolit). V takovém případě není monoklinická symetrie zřejmá z morfologie a krystal se označuje jako pseudorombický.

Prvky symetrie mohou být rovina symetrie a dvojčetná rotační osa symetrie nebo jejich kombinace (vzniká pak i střed symetrie). Rotační dvojčetná osa symetrie nebo směr kolmý k rovině symetrie jsou orientovány souhlasně s krystalografickou osou b, osa a se sklání vpřed a osa c je vertikální. Tato orientace se označuje jako „druhé postavení“, které je používáno v mineralogii. V krystalografii se používá i „prvého postavení“, kdy monoklinický krystal orientujeme dvojčetnou rotační osou symetrie nebo kolmicí k rovině souměrnosti ve směru krystalografické osy c.

Osa b je dána jednoznačně, ze zbývajících dvou směrů volíme za vertikálu směr růstový (nejhustěji obsazené uzlové přímky) – pro volbu parametrů základní buňky platí c₀ < a₀.

Důležitým faktorem při orientaci krystalu je také štěpnost. Pokud existuje dobrá pinakoidální štěpnost rovnoběžná s osou b, označuje se obvykle jako bazální. Pokud existují 2 směry stejnocenné štěpnosti, hovoříme obvykle o vertikální prizmatické štěpnosti (např. amfiboly).

2.4.2.1 Oddělení monoklinicky prizmatické (symbol 2/m)

Rotační 2-četná osa symetrie je orientována souhlasně s krystalografickou osou b, osy a, c leží v rovině symetrie, která je kolmá na směr osy b (viz stereogram). Krystalografická osa a je skloněna vpřed, a protíná těleso krystalu v jeho spodní části.

V oddělení mohou být přítomny dva krystalové tvary – pinakoid a prizma (obecný tvar). Prizma je čtyřplochý otevřený krystalový tvar {hkl} z trojúsekových ploch (obrázek 24-10). Zz dvojúsekových ploch (obrázek 24-11) se operacemi souměrnosti zobrazí prizmata {0kl} a {hk0}. Prizma {0kl} protíná osy b a c a je paralelní s osou a. Obecný tvar může mít také formu spojky dvou nezávislých prizmat {hkl} a {hk-l}, obrázek 24-10.

Pinakoidy rozlišujeme podle orientace na pinakoid přední (pinakoid a) se symbolem {100}, boční (pinakoid b) se symbolem {010} a bazální (pinakoid c) se symbolem {001}, obrázek 24-12. Dále existují dvojúsekové pinakoidy {h0l} a {-h0l}, které jsou navzájem nezávislé (obrázek 24-13).

V tomto oddělení krystalizují např. tyto minerály: amfiboly, pyroxeny, ortoklas, slídy, sádrovec, titanit, epidot, malachit.

2.4.2.2 Oddělení monoklinicky domatické (symbol m)

Oddělení obsahuje pouze vertikální rovinu symetrie (010), ve které leží krystalografické osy a, c (viz stereogram). Obecným krystalovým tvarem {hkl} je dóma, které je hemiedrem monoklinického prizmatu.

Dóma je dvojplochý krystalový tvar symetrický podle roviny zrcadlení (narozdíl od sfenoidu!). Takový dvojplochý krystalový tvar mohou vytvořit pouze plochy, které vytínají osu b. Mohou tak vzniknout čtyři druhy trojúsekových dómat {hkl}, {-hkl}, {hk-l} a {-hk-l} (obrázek 24-14) a čtyři druhy dómat dvojúsekových {0kl}, {0k-l}, {hk0} a {-hk0} (obrázek 24-15). Plocha kolmá na osu b se zobrazí jako pinakoid {010}, obrázek 24-12. Všechny ploch, které jsou rovnoběžné s osou b, tvoří pediony dvojúsekové {h0l} (obrázek 24-16) nebo jednoúsekové {100} a {001}, obrázek 24-17.

V tomto oddělení krystalizují některé vzácné minerály, např. hilgardit a klinohedrit.

2.4.2.3 Oddělení monoklinicky sfenoidické

Ve směru krystalografické osy b leží dvojčetná rotační osa symetrie (viz stereogram). Díky absenci roviny symetrie a, c je osa b polární a proto jsou na opačných koncích krystalu rozdílné krystalové tvary.

Krystalové ploch vytínající dvojčetnou osu symetrie tvoří různopolární hemiedry – sfenoidy. Jedná se o trojúsekové pravé sfenoidy (obrázek 24-18) {hkl}, {hk-l} a levé sfenoidy {h-kl}, {h-k-l} a dvojúsekové pravé sfenoidy (obrázek 24-19) {hk0}, {0kl} a levé sfenoidy {h-k0}, {0-kl}. Jednoúseková plocha kolmá na osu b se zobrazí jako pravý a levý pedion {010} a {0-10}. Plochy, které vytínají osy a a c, se zobrazují jako pinakoidy {h0l}, {h0-l}, {100} a {001}, obrázky 24-12 a 24-13.

2.4.3 Soustava rombická

Krystalové tvary se vztahují ke třem různocenným krystalografickým osám a, b, c. Osy svírají navzájem úhel 90° (obrázek 24-20). Relativní délka os (jejich vzájemný poměr) je pro každý rombický minerál jiný. Krystaly se zpravidla orientují tak, že nejdelší růstový směr je ve směru vertikály (směr osy c), z pasných os je delší osa b. Pokud je na krystalu vyvinut výrazně pinakoid tak, že je krystal tabulkovitý, je tento pinakoid obvykle orientován jako {001}.

V symetrii rombických krystalů se vyskytují dvojčetné rotační osy, roviny symetrie nebo jejich vzájemná kombinace. Tyto kombinace dávají vzniknout třem bodovým grupám (krystalografickým oddělením).

2.4.3.1 Oddělení rombicky dipyramidální (symbol 2/m 2/m 2/m)

Krystaly tohoto oddělení jsou symetrické podle tří různocenných roviny symetrie, které jsou rovnoběžné s osními rovinami. V jejich průsečnicích vznikají tři různocenné dvojčetné rotační osy symetrie, které jsou totožné s krystalografickými osami. Společný průsečík všech prvků symetrie je střed symetrie (viz stereogram a obrázek 24-21).

Obecným tvarem {hkl} je rombická dipyramida (obrázek 24-22), která je složena z osmi trojúsekových ploch ve tvaru nerovnostranného trojúhelníku (skalenický trojúhelník). Pokud se jeden z odvozovacích indexů rombické dipyramidy zvětšuje až do nekonečna (obrázek 24-23), vzniká jedno ze tří dvojúsekových prizmat {hk0}, {h0l} a {0kl}, obrázky 24-24, 24-25 a 24-26. Jednoúsekové plochy se v tomto oddělení zobrazují jako pinakoidy {100}, {010} a {001}, viz obrázky 24-26, 24-25 a 24-24.

V tomto oddělení krystaluje řada důležitých minerálů: amfiboly, pyroxeny, andalusit, baryt, topaz, síra, aragonit, antimonit, olivín a další.

2.4.3.2 Oddělení rombicky pyramidální (symbol mm2)

Hemimorfie oddělení je dána polární dvojčetnou rotační osou symetrie, která je totožná s krystalografickou osou c. Dvě navzájem kolmé roviny symetrie se protínají právě v ose c (viz streogram).

Horizontální rovina symetrie chybí a z trojúsekových ploch vznikají rombické hemiedry – rombická pyramida horní {hkl} (obrázek 24-27) a rombická pyramida dolní {hk-l} (obrázek 24-28).

Dvojúsekové plochy prizmat {0kl} a {h0l} přecházejí na dómata {0kl}, {0k-l}, {h0l} a {h0-l}, obrázky 24-29 a 24-30. Pinakoid {001} se mění ve dvě různocenná pedia horní {001} a dolní {00-1}, obrázky 24-28 a 24-27. Nezměněny zůstávají tvary rovnoběžné s osou c, tzn. prizma {hk0} (obrázek 24-24) a pinakoidy {100} a {010}, obrázky 24-26 a 24-25.

V tomto oddělení krystalují např. stefanit a hemimorfit.

2.4.3.3 Oddělení rombicky disfenoidické (symbol 222)

Tři dvojčetné rotační osy jsou totožné se třemi krystalografickými osami a, b, c. Roviny symetrie zde chybí, viz stereogram. Plochu v obecné poloze zobrazí přítomné prvky symetrie do obecného tvaru {hkl}, kterým je rombický disfenoid. Tento tvar má dvě horní plochy, které se střídají s dvěma dolními. Každá plocha má tvar skalenického trojúhelníku. Tvar nemá střed symetrie. Rombický disfenoid odvodíme z rombické dipyramidy meroedrickou operací trapezoedrického typu (obrázek 24-31). Vyjdeme-li při odvození hemiedru z plochy v pravém předním horním oktantu, vznikne disfenoid pravý {hkl} (obrázek 24-32), vyjdeme-li z levého předního horního oktantu, dostaneme disfenoid levý {h-kl} (obrázek 24-33). Oba tvary jsou vzájemně enantiomorfní a jeden na druhý nelze převést žádnou operací symetrie.

Další možné krystalové tvary odpovídají holoedrickému oddělení. Jsou to dvojúseková prizmata {hk0}, {h0l} a {0kl} (obrázky 24-24, 24-25 a 24-26) a jednoúsekové pinakoidy {100}, {010} a {001}, obrázky 24-26, 24-25 a 24-24.

2.4.4 Soustava tetragonální

Krystaly s tetragonální symetrií se vztahují k trojosému pravoúhlému krystalografickému kříži, ve kterém je osa c vertikální a osy a, b jsou na ni kolmé a vzájemně stejnocenné. Často se používá označení pasných os jako a₁ a a₂ (obrázek 24-34). Krystaly se orientují čtyřčetnou rotační osou nebo čtyřčetnou inverzní osou symetrie ve směru vertikály. Plochy se obecně značí symbolem (hkl), kdy platí h>k (obrázek 24-35).

2.4.4.1 Oddělení ditetragonálně dipyramidální (symbol 4/m 2/m 2/m)

Vertikální krystalografická osa c je totožná se čtyřčetnou rotační osou symetrie, na kterou je kolmá horizontální rovina symetrie. Kombinace těchto prvků symetrie vyvozuje existenci 2 + 2 vertikálních rovin symetrie, jejichž průnik s horizontální rovinou dává vzniknout 2 + 2 dvojčetným rotačním osám. Dvě dvojčetné rotační osy odpovídají krystalografickým osám a₁, a₂ a druhé dvě mají meziosní směr – svírají s a₁a a₂ úhel 45° (viz stereogram a obrázek 24-36).

Z plochy v obecné poloze vznikne přítomnými prvky symetrie obecný tvar ditetragonální dipyramida {hkl}. Tvar je složený z 16 nerovnostranných trojúhelníků a v pasném řezu najdeme pravidelný osmiúhelník - ditetragon (obrázek 24-37). Odvozovací indexy na jednotlivých osách mohou nabývat hodnot v intervalu (n>1, n<∞).

Pokud budou odvozovací indexy na obou pasných osách právě 1, páry ploch nad oktanty splynou v jedinou plochu a ditetragonální pasný průřez se změní na prvořadý tetragonální (obrázek 24-38) a vznikne prvořadá tetragonální dipyramida {hhl}, obrázek 24-39. Pokud bude odvozovací index na jedné z pasných os právě ∞, splývají páry ploch ležících ve dvou sousedních oktantech (obrázek 24-38) a výsledkem je tvar druhořadé tetragonální dipyramidy {h0l}, obrázek 24-40.

Vyjdeme-li z ditetragonální dipyramidy a odvozovací parametr na ose c bude ∞, dostaneme tvar ditetragonálního prizmatu {hk0}, který se skládá z osmi pravoúhlých vertikálních ploch, které svírají střídavě ostřejší a tupější úhly (obrázek 24-41).

Podle stejného principu odvodíme z tetragonální protodipyramidy a deuterodipyramidy tetragonální prvořadé prizma (protoprizma) {110} a tetragonální druhořadé prizma (deuteroprizma) {100}, obrázky 24-42 a 24-43.

Bazální pinakoid {001} vzniká, když odvozovací indexy na obou pasných osách dosáhnou hodnoty ∞. Tvar je složen ze dvou paralelních ploch, kolmých k 4-četné rotační ose (obrázky 24-41, 24-42, 24-43).

S touto symetrií krystaluje např. kasiterit, zirkon, rutil nebo vesuvián.

2.4.4.2 Oddělení ditetragonálně pyramidální (symbol 4mm)

Vertikální ose c odpovídá 4-četná rotační polární osa, ve které se protínají čtyři roviny symetrie (viz stereogram a obrázek 24-44). Chybějící horizontální rovina symetrie způsobuje hemimorfní vývoj, tedy existenci různých tvarů v horní a dolní části krystalu.

Obecným tvarem je ditetragonální pyramida horní {hkl} a dolní {hk-l}, obrázky 24-44 a 24-45. Stejně jako v předcházejícím oddělení můžeme v závislosti na hodnotách odvozovacích parametrů odvodit tetragonální protopyramidu horní {hhl} a dolní {hh-l} a tetragonální deuteropyramidu horní {h0l} a dolní {h0-l}, ve stejném pořadí obrázky 24-46, 24-47, 24-48 a 24-49. Přítomny mohou být rovněž ditetragonální prizma {hk0}, tetragonální protoprizma {110} a tetragonální deuteroprizma {100}, obrázky 24-41, 24-42 a 24-43. Bazální pinakoid se mění na dvě nezávislá pédia horní {001} a dolní {00-1}, obrázky 24-47 a 24-46.

2.4.4.3 Oddělení tetragonálně skalenoedrické (symbol –42m)

Čtyřčetná inverzní osa symetrie odpovídá vertikální ose c, dvojčetné rotační osy symetrie odpovídají pasným osám a₁, a₂. Roviny symetrie svírají s pasnými osami úhel 45° a protínají se ve vertikále (viz stereogram a obrázek 24-50).

Vynecháváme-li střídavě dvě horní a dvě spodní plochy na ditetragonální dipyramidě (meroedrická operace skalenoedrického typu) dostaneme obecný hemiedrický tvar – tetragonální skalenoedr. Vyjdeme-li z pravého horního oktantu dostaneme tvar pozitivní {hkl}, je-li výchozí levý horní oktant dostaneme negativní tvar {h-kl}, obrázky 24-50 a 24-51. Skalenoedr se skládá z osmi ploch, které mají tvar skalenického trojúhelníku.

Jsou-li odvozovací indexy na pasných osách rovny m = 1, spojí se dvojice ploch střídavě v horní a dolní polovině krystalu a vznikne tetartoedrický tvar tetragonální prvořadý disfenoid (protodisfenoid) v pozitivním {hhl} a negativním {h-hl} postavení, obrázky 24-52 a 24-53. Tetragonální disfenoid můžeme považovat za hemiedr tetragonální protodipyramidy.

Pokud bude mít odvozovací index plochy tetragonálního skalenoedru na jedné z pasných os hodnotu ∞, vznikne tetragonální deuterodipyramida {h0l}, obrázek 24-40.

Prodlužováním odvozovacího indexu na vertikále do nekonečna, vznikne ze skalenoedru ditetragonální prizma {hk0} (obrázek 24-41), z disfenoidu tetragonální protoprizma {110} (obrázek 24-42) a z tetragonální deuterodipyramidy tetragonální deuteroprizma {100} (obrázek 24-43).

Pokud jsou na pasných osách oba odvozovací index rovny ∞, vznikne bazální pinakoid {001}, obrázek 24-41.

2.4.4.4 Oddělení tetragonálně dipyramidální (symbol 4/m)

Symetrie oddělení je založena na čtyřčetné rotační ose symetrie a na ni kolmé rovině symetrie (viz stereogram a obrázek 24-54).

Operacemi symetrie se obecná plocha {hkl} zobrazí jako tetragonální dipyramida třetího řádu (tritodipyramida) levá {hkl} nebo pravá {khl}, obrázky 24-54 a 24-55. Odvození je možné provést z ditetragonální dipyramidy hemiedrickou redukcí dipyramidálního typu. Poloha třetiřadého tvaru je mezi prvořadým a druhořadým postavením (obrázek 24-56) a rozpoznání tritotvaru je možné jen na vhodné spojce.

Na krystalech tohoto oddělení mohou být přítomny i tetragonální protodipyramida {hhl} a tetragonální deuterodipyramida {h0l}, obrázky 24-39 a 24-40.

Z ditetragonálního prizmatu lze odvodit tetragonální tritoprizma levé {hk0} a pravé {kh0}, obrázky 24-57 a 24-58. Přítomno může být i tetragonální protoprizma {110}, tetragonální deuteroprizma {100} a bazální pinakoid {001}, obrázky 24-42 a 24-43.

2.4.4.5 Oddělení tetragonálně trapezoedrické (symbol 422)

Vertikální osa je směrem čtyřčetné rotační osy symetrie a na ni jsou kolmé čtyři dvojčetné rotační osy . Roviny symetrie a střed symetrie chybí (viz stereogram).

Trapezoedrickou hemiedrickou redukcí získáme z ditetragonální dipyramidy obecný tvar tetragonálního trapezoedru. Jedná se o enantiomorfní tvar – levý {hkl} a pravý {khl}, obrázky 24-59 a 24-60. Osmiplochý tvar je omezen třemi různocenými hranami, které jsou v pasné rovině delší a kratší a úhlově odlišné. Kratší hrana levého trapezoedru směřuje zprava směrem vlevo dolů.

V tomto oddělení se mohou vyskytovat i další krystalové tvary podobně jako v holoedrickém oddělení. Jsou to tetragonální protodipyramida {hhl} (obrázek 24-39), tetragonální deuterodipyrmaida {h0l} (obrázek 24-40), ditetragonální prizma {hk0} (obrázek 24-41), tetragonální protoprizma {110} (obrázek 24-42), tetragonální deuteroprizma {100} (obrázek 24-43) a bazální pinakoid {001} (obrázek 24-41).

2.4.4.6 Oddělení tetragonálně disfenoidické (symbol –4)

Vertikální krystalografická osa c je totožná s čtyřčetnou inverzní osou symetrie. Další prvky symetrie nejsou přítomny (viz stereogram a obrázek 24-61).

Obecný tvar oddělení lze odvodit z holoedrického oddělení provedením dvou hemiedrických operací zároveň – pyramidální a skalenoedrickou meroedrií. Dostaneme tak tetartoedr označovaný jako disfenoid. Tetragonální (trito)disfenoid je uzavřený tvar, který jako tetartoedr má čtyři možná postavení: levý tvar může mít polohu pozitivní {hkl} (obrázek 24-61) a negativní {k-hl} (obrázek 24-62), pravý tvar může být rovněž pozitivní {khl} (obrázek 24-63) a negativní {h-kl} (obrázek 24-64).

Pokud budou odvozovací indexy na pasných osách rovny m = 1, vznikne tetragonální protodisfenoid pozitivní {hhl} a negativní {h-hl}, obrázky 24-52 a 24-53. Druhý krajní případ nastává, je-li odvozovací index na jedné pasné ose m = ∞, takže vzniká tetragonální deuterodisfenoid pozitivní {h0l} a negativní {0kl}, obrázky 24-65 a 24-66.

Prodloužením odvozovacího indexu na vertikále na hodnotu ∞, dostaneme z tritodisfenoidu tetragonální tritoprizma levé {hk0} nebo pravé {kh0}, obrázky 24-57 a 24-58. Podobnou operací získáme z proto- a deuterodisfenoidu tvary tetragonálního protoprizmatu {110} a deuteroprizmatu {100}, obrázky 24-42 a 24-43. Na krystalech tohoto oddělení může být přítomen i bazální pinakoid {001}, obrázek 24-41.

2.4.4.7 Oddělení tetragonálně pyramidální

Vertikální krystalografická osa c odpovídá čtyřčetné rotační ose symetrie (viz stereogram). Oddělení je hemimorfní.

Obecným tvarem {hkl} je tetragonální tritopyramida levá {hkl} a pravá {khl} horní (obrázky 24-67 a 24-68) a levá {hk-l} a pravá {kh-l} dolní (obrázky 24-69 a 24-70). Rovněž všechny další krystalové tvary vytínající vertikálu rozlišujeme na horní a dolní – tetragonální protopyramida horní {hhl} a dolní {hh-l} (obrázky 24-46 a 24-47) a tetragonální deuteropyramida horní {h0l} a dolní {h0-l} (obrázky 24-48 a 24-49).

Tvary rovnoběžné s vertikálou odpovídají tetragonálně dipyramidálnímu oddělení – tetragonální tritoprizma levé {hk0} a pravé {kh0} (obrázky 24-57 a 24-58), tetragonální protoprizma {110} (obrázek 24-42), tetragonální deuteroprizma {100} (obrázek 24-43) a pedión horní {001} a dolní {00-1} (obrázky 24-69 a 24-67).

2.4.5 Soustava hexagonální

Krystalová oddělení v hexagonální soustavě vychází z hexagonální strukturní mřížky a krystaly jsou popisovány vzhledem k čtyřosému krystalografickému kříži. Tři osy, označované jako a₁, a₂, a₃, leží v horizontální (pasné) rovině, mají stejnou délku a svírají úhel 120° mezi svými pozitivními konci. Čtvrtá je vertikální osa c. Osní roviny rozdělují prostor osního kříže na dvanáct dodekantů (vše na obrázku 22-10).

Ve směru vertikály je orientována šestičetná rotační nebo inverzní osa symetrie, takže do této soustavy řadíme i oddělení –6 a –6m2, která mají trigonální symetrii (-6 = 3/m).

Indexování ploch pomocí Millerových symbolů je v tomto osním systému nevýhodné (např. plochy jednoho tvaru mají různé symboly). Mnohem lépe vyhovují čtyřčíselné indexy ploch označované jako Bravaisovy symboly (hk-il). Třetí číslice v symbolu je sumou prvních dvou, násobená -1; jinak vyjádřeno platí: h + k + i = 0.

V symbolech krystalových ploch se hodnoty uvádějí vždy v pořadí os a₁: a₂: a₃: c. Odvozovací indexy plochy v Bravaisových symbolech nejsou vázané na konkrétní osy, ale značí velikost reciprokých odvozovacích indexů v pořadí i > h > k, kde

k – zastupuje úsek na té ose, který odpovídá nejnižší reciproké hodnotě

h – odpovídá ose jejíž hodnota reciprokého odvozovacího indexu je střední

i – vyjadřuje největší reciprokou hodnotu odvozovacího úseku.

Plocha (21-31) odpovídá obecnému symbolu (hk-il), analogicky plocha (12-31) odpovídá obecně (kh-il).

2.4.5.1 Oddělení dihexagonálně dipyramidální (symbol 6/m 2/m 2/m)

Vertikální osa c je totožná s rotační šestičetnou osou symetrie, v pasné rovině leží šest dvojčetných os – tři souhlasí s krystalografickými osami a tři půlí úhel mezi nimi. Dále je přítomna jedna pasná rovina symetrie a šest rovin vertikálních (viz stereogram a obrázek 24-71).

Obecným tvarem oddělení je dihexagonální dipyramida {hk-il} složená z 24 ploch ve tvaru rovnoramenných trojúhelníků (obrázek 24-72). Odvozovací indexy na pasných osách jsou v intervalu (1, 2). Pasný řez odpovídá pravidelnému dihexagonu – dvanáctiúhelník se střídajícími se ostřejšími a tupějšími úhly.

Dosáhne-li odvozovací index na jedné z os v pasné rovině n = 1, spojí se plochy v dodekantech a vznikne hexagonální dipyramida prvořadá (protodipyramida) {h0-hl}, obrázek 24-73. Dosáhne-li odvozovací index obecného tvaru na jedné z os n = 2, vznikne hexagonální dipyramida druhořadá (deuterodipyramida) {hh-2hl}, obrázek 24-74. Rozlišení obou tvarů je možné na vhodné spojce, jejich poloha vzhledem k osnímu kříži je zřejmá z obrázku 24-75.

Dosáhne-li odvozovací parametr na ose c hodnoty ∞, vznikne z dihexagonální dipyramidy dihexagonální prizma {hk-i0} (obrázek 24-76), z hexagonální protodipyramidy hexagonální protoprizma {10-10} (obrázek 24-77) a z hexagonální deuterodipyramidy hexagonální deuteroprizma {11-20} (obrázek 24-78). Protoprizma se skládá ze šesti vertikálních ploch, z nichž každá vytíná dva stejné úseky na horizontálních osách a s třetí je paralelní. Deuteroprizma se skládá také ze šesti vertikálních ploch, které ale protínají dvě horizontální osy ve stejné délce a třetí osu v délce poloviční (obrázek 24-75).

Bazální pinakoid {0001} je složen ze dvou rovnoběžných ploch, které jsou kolmé k šestičetné ose a paralelní s horizontální rovinou symetrie (obrázek 24-76). Odvozovací indexy v pasné rovině jsou n = ∞.

2.4.5.2 Oddělení dihexagonálně pyramidální (symbol 6mm)

Osa c je totožná s šestičetnou polární rotační osou symetrie, kterou protíná 6 vertikálních rovin symetrie, oddělení je tedy hemimorfní (viz stereogram a obrázek 24-79) .

Obecným tvarem je dihexagonální pyramida, která se díky nepřítomné pasné rovině symetrie rozlišuje jako horní {hk-il} a dolní {hk-i-l}, obrázky 24-80 a 24-81.

Další přítomné krystalové tvary jsou hemimorfní, pokud vytínají osu c, tvary vertikálního pásma si zachovávají morfologickou plnoplochost. Hexagonální protopyramidu rozlišíme horní {h0-hl} a dolní {h0-h-l}, obrázky 24-82 a 24-83. Obdobně rozlišíme hexagonální deuteropyramidu horní {hh-2hl} a dolní {hh-2h-l}, obrázky 24-84 a 24-85.

Prodloužením odvozovacího indexu na ose c na p = ∞ dostaneme z dihexagonální pyramidy dihexagonální prizma {hk-i0} (obrázek 24-76), a z hexagonálních pyramid hexagonální protoprizma {10-10} (obrázek 24-77) a hexagonální deuteroprizma {11-20} (obrázek 24-78). Bazální pinakoid se rozpadá na dvě pedia – horní {0001} a dolní {000-1}, obrázky 24-83 a 24-82.

2.4.5.3 Oddělení hexagonálně dipyramidální (symbol 6/m)

Z prvků symetrie je přítomna pouze šestičetná rotační osa symetrie totožná s vertikálou a na ni kolmá rovina symetrie (viz stereogram a obrázek 24-86).

Obecným tvarem tohoto oddělení je hexagonální dipyramida, která je hemiedrií dypiramidálního typu, kdy střídavě vynecháváme dvě plochy nad sebou v dihexagonální dipyramidě a dostaneme třetiřadou hexagonální dipyramidu (tritodipyramidu) ve dvou postaveních (obrázek 24-96). Pravý tvar je {hk-il} a levý {i-k-hl}, obrázky 24-86 a 24-87. Odvozovací indexy v pasné rovině jsou n > 1 a n < 2.

Je-li odvozovací index na pasných osách n = 1, dostaneme hexagonální protodipyramidu {h0-hl} (obrázek 24-73), je-li n = 2 dostáváme hexagonální deuterodipyramidu {hh-2hl} (obrázek 24-74).

Zvětšováním odvozovacího indexu na ose c na p = ∞ dostaneme tvary vertikálního pásma. Z hexagonální tritodipyramidy odvodíme hexagonální tritoprizma pravé {hk-i0} a levé {i-k-h0}, obrázky 24-88 a 24-89. Z hexagonální protodipyramidy a deuteropdipyramidy odvodíme hexagonální protoprizma {10-10} a hexagonální deuteroprizma {11-20}, obrázky 24-77 a 24-78.

Prodlužováním odvozovacího indexu v pasné rovině na n = ∞ dostaneme bazální pinakoid {0001}, obrázek 24-88 nebo 24-89.

2.4.5.4 Oddělení hexagonálně trapezoedrické (symbol 622)

Jedná se o kompletní osovou symetrii v hexagonální soustavě, osy symetrie jsou uspořádány jako v holoedrickém oddělení, ale chybí roviny a střed symetrie (viz stereogram a obrázek 24-90).

Obecným tvarem oddělení je hexagonální trapezoedr. Redukcí dihexagonální dipyramidy podle hemiedrie trapezoedrického typu obdržíme hexagonální trapezoedr ve dvou pozicích: levý {kh-il} a pravý {hk-il}, obrázky 24-90 a 24-91. Obě pozice jsou navzájem enantiomorfní.

Je-li odvozovací index trapezoedru na vertikále p = ∞, dostaneme dihexagonální prizma {hk-i0}, obrázek 24-76.

Hexagonální trapezoedr s odvozovacím indexem na pasné ose n = 1 přechází na hexagonální protodipyramidu {h0-hl} (obrázek 24-73), s odvozovacím indexem n = 2 na hexagonální deuterodipyramidu {hh-2hl} (obrázek 24-74). Z těchto tvarů lze při p = ∞ odvodit hexagonální protoprizma {10-10} a hexagonální deuteroprizma {11-20}, obrázky 24-77 a 24-78. Přítomen může být i bazální pinakoid {0001}, obrázek 24-77.

2.4.5.5 Oddělení hexagonálně pyramidální (symbol 6)

Vertikální osa c odpovídá šestičetné polární rotační ose symetrie, jiné prvky symetrie nejsou přítomny (viz stereogram a obrázek 24-92).

Morfologii obecného tvaru (tetartoedr) dostaneme kombinací meroedrie dipyramidálního a trapezoedrického typu. Výsledné hexagonální tritopyramidy (pozice tritotvaru viz obrázek 24-96) jsou čtyři různocenné nezávislé tvary: pravá horní {hk-il} (obrázek 24-92), pravá dolní {hk-i-l} (obrázek 24-93), levá horní {i-k-hl} (obrázek 24-94) a levá dolní {i-k-h-l} (obrázek 24-95).

Další tvary se shodují s hexagonálně dipyramidálním oddělením, pouze tvary vytínající osu c jsou hemimorfní, vždy horní a dolní.

Přítomny mohou být hexagonální protopyramida horní {h0-hl} a dolní {h0-h-l} (obrázky 24-82 a 24-83), hexagonální deuteropyramida horní {hh-2hl} a dolní {hh-2h-l} (obrázky 24-84 a 24-85). Původní pinakoid se rozpadá na horní {0001} a dolní {000-1} pedion (obrázek 24-83 a 24-82).

Ve vertikálním pásmu lze odvodit hexagonální tritoprizma levé {hk-i0} a pravé {i-k-h0} (obrázky 24-88 a 24-89), hexagonální protoprizma {10-10} (obrázek 24-77) a hexagonální deuteroprizma {11-20} (obrázek 24-78).

2.4.5.6 Oddělení ditrigonálně dipyramidální (symbol –6m2)

Šestičetná inverzní osa symetrie ve směru vertikální osy c může být nahrazena trojčetnou osou kolmou na pasnou rovinu symetrie. V trojčetné ose se protínají tři meziosní roviny symetrie. Průsečíky meziosních rovin s pasnou rovinou symetrie dávají vzniknout třem polárním dvojčetným osám (viz stereogram). Obecným tvarem oddělení je ditrigonální dipyramida {hk-il}.

Ditrigonální dipyramida může být považována za hemiedr dihexagonální dipyramidy. Odvození provádíme střídavým vynecháváním dvojploší v horní a spodní polovině (obrázek 24-97). Podle orientace ploch, které na krystalu zachováme, dostaneme ditrigonální dipyramidu pozitivní {hk-il} nebo ditrigonální dipyramidu negativní {-ki-hl}, obrázky 24-98 a 24-99.

Je-li odvozovací index ditrigonální dipyramidy na vedlejších osách na limitní hodnotě n = 1, plochy dodekantů splynou (obrázek 24-100) do tvaru trigonální protodipyramidy pozitivní {h0-hl} a negativní {0h-hl}, obrázky 24-101 a 24-102. Je-li odvozovací index ditrigonální dipyramidy na vedlejších osách na limitní hodnotě n = 2, vyvine se každá plocha individuelně a protne se v nových hranách za vzniku hexagonální deuterodipyramidy {hh-2hl} (obrázek 24-74).

Vyjdeme-li z jednotlivých dipyramid a odvozovací index na c bude roven p = ∞ dostaneme tvary ditrigonálního prizmatu pozitivního {hk-i0} a negativního {-ki-h0} (obrázky 24-103 a 24-104), trigonálního protoprizmatu pozitivní {10-10} a negativní {01-10} (obrázky 24-105 a 24-106) a hexagonálního deuteroprizmatu {11-20} (obrázek 24-78). Přítomen může být i bazální pinakoid {0001}, obrázek 24-103.

2.4.5.7 Oddělení trigonálně dipyramidální (symbol –6)

Prvkem symetrie je šestičetná inverzní osa, která odpovídá kombinaci trojčetné rotační osy a na ni kolmé roviny symetrie (viz stereogram). Symetrie tohoto oddělení nedovoluje hexagonální tvary.

Obecným tvarem je trigonální tritodipyramida, která je tetartoedrem dihexagonální dipyramidy a je tvořena šesticí ploch – tři horní a tři dolní. Má celkem čtyři postavení: pozitivní levá {i-k-hl} (obrázek 24-107), pozitivní pravá {hk-il} (obrázek 24-108), negativní levá {-ki-hl} (obrázek 24-109), negativní pravá {kh-il} (obrázek 24-110). Bude-li odvozovací index na vertikále p = ∞, vzniknou trigonální tritoprizmata se stejnou orientací: tritoprizma pozitivní levé {i-k-h0} (obrázek 24-111), tritoprizma pozitivní pravé {hk-i0} (obrázek 24-112), tritoprizma negativní levé {-ki-h0} (obrázek 24-113) a tritoprizma negativní pravé {kh-i0} (obrázek 24-114).

Trigonální tritodipyramida s odvozovacím indexem n = 1 se stává trigonální protodipyramidou pozitivní {h0-hl} a negativní {0h-hl}, obrázky 24-100 a 24-101, a po prodloužení na p = ∞ ve vertikálním směru dostáváme trigonální protoprizma pozitivní {10-10} a negativní {01-10}, obrázky 24-105 a 24-106.

Trigonální tritodipyramida s n = 2 přechází na trigonální deuterodipyramidu pravou {hh-2hl} a levou {2h-h-hl}, obrázky 24-119 a 24-120 a po prodloužení ve vertikálním směru na p = ∞ dostáváme trigonální deuteroprizma pravé {11-20} a levé {2-1-10}, obrázky 24-121 a 24-122.

Přítomen může být i bazální pinakoid {0001}, obrázek 24-122.

2.4.6 Soustava trigonální

Krystalografický osní kříž je totožný s křížem hexagonální soustavy, pouze ve směru vertikální osy c najdeme vždy trojčetnou rotační nebo trojčetnou inverzní osu symetrie. Indexování krystalových ploch má stejný princip jako v hexagonální soustavě.

2.4.6.1 Oddělení ditrigonálně skalenoedrické (symbol –32/m)

Ose c odpovídá trojčetná inverzní osa symetrie (kombinace trojčetné rotační osy a středu symetrie), tři dvojčetné rotační osy symetrie odpovídají třem pasným osám. Tři vertikální roviny symetrie v meziosních směrech jsou kolmé na dvojčetné osy (viz stereogram a obrázek 24-123).

Obecným tvarem oddělení je ditrigonální skalenoedr, který můžeme odvodit z dihexagonální dipyramidy meroedrickou operací skalenoedrického typu, tj. střídavým vynecháváním dvou ploch v horní a dolní polovině krystalu. Plochy skalenoedru jsou omezeny třemi různocennými hranami a mají tvar skalenického trojúhelníku. Rozlišujeme ditrigonální skalenoedr pozitivní {hk-il} a negativní {kh-il}, obrázky 24-123 a 24-124.

Dosáhne-li odvozovací index na ose c hodnoty p = ∞ vzniká dihexagonální prizma {hk-i0}, obrázek 24-76.

Je-li odvozovací index ditrigonálního skalenoedru na některé z pasných os n = 1 vzniká protoromboedr (prvořadý klenec) pozitivní {h0-hl} a negativní {0h-hl}, obrázek 24-125 a 24-126. Krystalový tvar se skládá ze šesti ploch kosočtvercového omezení. Romboedr, jehož odvozovací parametr dosáhne na vertikále hodnotu p = ∞, přechází na hexagonální protoprizma {10-10}, obrázek 24-77.

Odvozovací index ditrigonálního skalenoedru s hodnotou n = 2 na pasné ose dává vzniknout hexagonální deuterodipyramidě {hh-2hl}, obrázek 24-74. Z odvozovacího parametru p = ∞ na vertikále odvodíme hexagonální deuteroprizma {11-20}, obrázek 24-78. Na krystalech tohoto oddělení může být přítomen i bazální pinakoid {0001}, obrázek 24-77.

V tomto oddělení krystalují některé velmi důležité minerály, např. kalcit, siderit, magnezit, hematit nebo korund.

2.4.6.2 Oddělení ditrigonálně pyramidální (symbol 3m)

S vertikální osou c souhlasí polární trojčetná rotační osa symetrie, ve které se protínají tři vertikální roviny symetrie, které jsou kolmé na krystalografické osy (viz stereogram a obrázek 24-127). Obecným tvarem je ditrigonální pyramida, která může být ve čtyřech orientacích: pozitivní horní {hk-il} (obrázek 24-127), pozitivní dolní {hk-i-l} (obrázek 24-128), negativní horní {-ki-hl} (obrázek 24-129) a negativní dolní {-ki-h-l} (obrázek 24-130).

Z dalších hemimorfních tvarů (všechny, které vytínají vertikálu) jsou přítomny trigonální protopyramida pozitivní horní {h0-hl} a dolní {h0-h-l} (obrázky 24-131 a 24-132), negativní horní {0h-hl} a dolní {0h-h-l} (obrázky 24-133 a 24-134) a dále hexagonální deuteropyramida horní {hh-2hl} a dolní {hh-2h-l}, obrázky 24-84 a 24-85.

Z obecného tvaru ditrigonální pyramidy s odvozovacím indexem p = ∞ na vertikále dostaneme tvar ditrigonálního prizmatu pozitivního {hk-i0} a negativního {-kih0}, obrázky 24-103 a 24-104. Prvořadé hexagonální prizma se zobrazí jako dvě různocenná trigonální protoprizmata pozitivní {10-10} a negativní {01-10}, obrázky 24-105 a 24-106. Zachová se hexagonální deuteroprizma {11-20}, obrázek 24-78. Bazální pinakoid se mění na pedion horní {0001} a dolní {000-1}, obrázky 24-132 a 24-131.

2.4.6.3 Oddělení trigonálně trapezoedrické (symbol 32)

S osou c je totožná trojčetná rotační osa symetrie a na ni jsou kolmé tři dvojčetné osy symetrie ve směru krystalografických os (viz stereogram a obrázek 24-135).

Obecným tvarem je trigonální trapezoedr, který můžeme považovat za hemiedr hexagonálního trapezoedru nebo ditrigonálního skalenoedru. Existují čtyři postavení trigonálního trapezoedru: pravý kladný {hk-il} (obrázek 24-135), levý kladný {i-k-hl} (obrázek 24-136), pravý záporný {-ki-hl} (obrázek 24-137) a levý záporný {kh-il} (obrázek 24-138). Tvary se skládají ze šesti ploch (asymetrické různoběžníky – trapezy), které se sbíhají v klikatě běžících pasných hranách.

Prodloužením odvozovacího indexu na ose c na p = ∞ vznikne ditrigonální tritoprizma v pravém {hk-i0} a levém {i-k-h0} postavení, obrázky 24-139 a 24-140.

Je-li na pasné ose jeden z odvozovacích indexů n = 1, odvodíme z trigonálního trapezoedru protoromboedr pozitivní {h0-hl} a negativní {0h-hl}, obrázky 24-125 a 24-126. Přidá-li se hodnota odvozovacího parametru na vertikále p = ∞, dostaneme hexagonální protoprizma {10-10}, obrázek 24-77. Je-li na pasné ose jeden z odvozovacích indexů n = 2, vzniká trigonální deuterodipyramida pravá {hh-2hl} a levá {2h-h-hl}, obrázky 24-119 a 24-120. Analogicky přes p = ∞ odvodíme trigonální deuteroprizma pravé {11-20} a levé {2-1-10}, obrázky 24-122 a 24-121. Přítomen může být i bazální pinakoid {0001}, obrázek 24-121.

2.4.6.4 Oddělení trigonálně romboedrické (symbol –3)

Vertikální osa c je totožná s trojčetnou inverzní osou symetrie, která je kombinací trojčetné rotační osy a středu symetrie (viz stereogram).

Obecným tvarem oddělení je romboedr, který můžeme považovat za tetartoedr dihexagonální dipyramidy nebo hemiedr hexagonální tritodipyramidy.

Z dihexagonální dipyramidy můžeme kombinací meroedrických operací dipyramidálního a skalenoedrického typu odvodit trigonální tritoromboedr ve čtyřech pozicích: pravý pozitivní {hk-il} (obrázek 24-141), levý pozitivní {ik-hl} (obrázek 24-142), pravý negativní {ki-hl} (obrázek 24-143) a levý negativní {kh-il} (obrázek 24-144). Je-li odvozovací úsek na vertikále definován p = ∞, dostáváme hexagonální tritoprizma pravé {hk-i0} nebo levé {i-k-h0}, obrázky 24-88 a 24-89.

Dosáhne-li odvozovací index pro trigonální tritoromboedr na vedlejších osách n = 1, vznikne trigonální protoromboedr pozitivní {h0-hl} a negativní {0h-hl}, obrázky 24-125 a 24-126. Z těchto tvarů odvodíme prodloužením úseku na vertikále na p = ∞ hexagonální protoprizma {10-10}, obrázek 24-77.

Je-li odvozovací index trigonálního tritoromboedru na pasných osách n = 2, mění se na trigonální deuteroromboedr pravý {hh-2hl} a levý {2h-h-hl}, obrázky 24-145 a 24-146. Polohy jednotlivých typů romboedrů jsou na obrázku 24-147. Obdobně jako v předchozím případě vznikne prodloužením úseku na vertikále hexagonální deuteroprizma {11-20}, obrázek 24-78. Přítomen může být i bazální pinakoid {0001}, obrázek 24-88.

2.4.6.5 Oddělení trigonálně pyramidální (symbol 3)

Jediným prvkem symetrie je trojčetná rotační osa symetrie ve směru vertikály (viz stereogram).

Obecným tvarem je trigonální tritopyramida, která může být celkem v osmi pozicích: pozitivní pravá horní {hk-il} (obrázek 24-148), pozitivní pravá dolní {hk-i-l} (obrázek 24-149), pozitivní levá horní {ik-hl} (obrázek 24-150), pozitivní levá dolní {ik-h-l} (obrázek 24-151), negativní pravá horní {-ki-hl} (obrázek 24-152), negativní pravá dolní {-ki-h-l} (obrázek 24-153), negativní levá horní {kh-il} (obrázek 24-154) a negativní levá dolní {kh-i-l} (obrázek 24-155).

Všechny tvary protínající vertikálu jsou hemimorfní, tj. pro odvozovací index n = 1 vznikne trigonální protopyramida pozitivní horní {h0-hl}, pozitivní dolní {h0-h-l}, negativní horní {0h-hl} a negativní dolní {0h-h-l}, obrázky 24-131, 24-132, 24-133 a 24-134. Bude-li na vedlejších osách odvozovací index n = 2, vznikne trigonální deuteropyramida pravá horní {hh-2hl}, pravá dolní {hh-2h-l}, levá horní {2h-h-hl} a levá dolní {2h-h-h-l}, obrázky 24-156, 24-157, 24-158 a 24-159.

Všechny tvary rovnoběžné s vertikálou se budou shodovat s trigonálně dipyramidálním oddělením. Patří sem trigonální tritoprizma pozitivní levé {i-k-h0}, pozitivní pravé {hk-i0}, negativní levé {kh-i0} a negativní pravé {-ki-h0}, obrázky 24-111, 24-112, 24-113 a 24-114. Trigonální protoprizma má dvě polohy – pozitivní {10-10} a negativní {01-10} (obrázky 24-105 a 24-106), podobně i trigonální deuteroprizma – pravé {11-20} a levé {2-1-10} (obrázky 24-121 a 24-122). Pinakoid se rozpadá na dvě pedia – horní {0001} a dolní {000-1}, obrázky 24-158 a 24-156.

2.4.7 Soustava kubická

Krystaly kubické soustavy se vztahují ke třem navzájem kolmým krystalografickým osám stejné délky. Pouze formálně se tyto stejnocenné osy označují a₁, a₂, a₃(obrázek 24-160).

Symboly v mezinárodním značení odpovídají krystalograficky významným směrům – první symbol je vztažen ke směru krystalografických os (mohou být přítomny tři 4-četné rotační nebo inverzní osy symetrie, nebo tři 2-četné osy symetrie), druhý symbol odpovídá směru tělesové úhlopříčky krychle (směru čtyř diagonálních inverzních os trojčetné symetrie) a třetí symbol odpovídá prvku symetrie ve směru protilehlých hran krychle (celkem šest směrů stěnových úhlopříček krychle).

Při označování krystalových tvarů se vybírá symbol, kde jsou h, k, l kladné hodnoty (pokud je to možné) a h > k > l.

Krystalové tvary se odvozují od ploch v pozitivním oktantu. Plocha vytíná osu a₁ v jednotkové délce, a₂ ve stejné nebo větší délce a a₃ ve stejné nebo větší než na a₂. Úseky vytnuté plochami větší než 1 mohou být konečné i nekonečné. Celkem tedy existuje 7 typů krystalových ploch: (hkl), (hhl), (hkk), (111), (hk0), (110) a (100).

Symboly pozitivní nebo negativních tvarů vytínají základní úsek na ose a₁. Pozitivní tvary leží v pozitivním oktantu {hkl}, {hhl}, {hkk} a {111}, negativní tvary v levém předním horním oktantu {h-kl}, {h-hl}, {h-kk} a {1-11}.

Tvary pozitivní levé a pravé jsou charakterizovány plochou v pozitivním oktantu. Levé tvary utínají základní úsek na a₁ se symboly {hkl} a {hk0}, pravé tvary vytínají základní úsek na a₂ se symboly {khl} a {kh0}. Negativní tvary levé a pravé odpovídají plochám v levém horním předním oktantu, kdy negativní levý tvar má symbol {k-hl} a negativní pravý tvar {h-kl}.

Symetrie kubických oddělení je poměrně vysoká a tak se v kubické soustavě nikdy nesetkáme s otevřeným krystalovým tvarem. Kubické krystalové tvary se vyskytují pouze v rámci pěti oddělení kubické soustavy a naopak, tvary jiných soustav se nikdy nevyskytují v kubických odděleních.

2.4.7.1 Oddělení hexaoktaedrické (symbol 4/m –3 2/m)

Krystalovým osám odpovídají tři čtyřčetné rotační osy symetrie na něž jsou kolmé tři osní roviny symetrie. V diagonálních směrech leží čtyři trojčetné inverzní osy symetrie. Šest dvojčetných rotačních os symetrie půlí úhly mezi krystalografickými osami a na ně je kolmých šest diagonálních rovin symetrie. Přítomen je i střed symetrie (viz stereogram a obrázek 24-161). Toto oddělení obsahuje maximální možnou kombinaci prvků symetrie a obecným tvarem je haxaoktaedr (osmačtyřicetistěn).

Hexaoktaedr {hkl} má nad každým oktantem okolo trojčetné inverzní osy šest rovnocenných trojúhelníkových ploch (obrázek 24-162). Tyto vytínají všechny tři osy v různých délkách. Limitní odvozovací indexy jsou m > 1 a m < ∞. Nejběžnějším tvarem je {321}.

Bude-li odvozovací index na všech krystalografických osách n = 1, splyne šest ploch nad každým oktantem do jediné a vznikne oktaedr {111}, obrázek 24-163. V stereografické projekci leží poziční body oktaedru na trojčetných inverzních osách.

Dosáhnou-li odvozovací parametry plochy na dvou osách stejné hodnoty, vzniknou z hexaoktaedru dva hemiedry. V prvním případě jsou na dvou osách vytnuty stejné úseky v intervalu n > 1 a n < ∞ a tím splývají dvojploší hexaoktaedru mezi digirami (obrázek 24-164) a vzniká tetragon-trioktaedr (čtyřiadvacetistěn deltoidový) {hkk}, obrázek 24-165. Nejběžnějším tvarem je {211}.

Druhou možností je případ, kdy na dvou osách jsou vytínány jednotkové úseky a na třetí úsek s hodnotou odvozovacího parametru n > 1 a n < ∞. Nové plochy tvaru vznikají splynutím dvojploší hexaoktaedru mezi tetragyrami (obrázek 24-166) a vzniká tak trigon-trioktaedr (čtyřiadvacetistěn trojúhelníkový) {hhk}, obrázek 24-167. Nejběžnější je tvar {221}.

Dosáhne-li na trigon-trioktaedru delší úsek n = ∞, splynou dvě plochy podle osních rovin symetrie a vznikne rombický dodekaedr (dvanáctistěn kosočtverečný) {110}, obrázek 24-168.

Z hexaoktaedru odvodíme další krystalový tvar prodloužením jednoho úseku na libovolné ose na n = ∞. Splynou tak do nových ploch dvojploší podél osních rovin symetrie (obrázek 24-169) a vznikne tetrahexaedr (čtyřiadvacetistěn krychlový) {hk0}, obrázek 24-170.

Pokud úseky na dvou osách budou n = ∞ vznikne hexaedr (krychle) {100}, obrázek 24-171.

V tomto oddělení krystalují např. minerály: granát, fluorit, spinelidy nebo galenit.

2.4.7.2 Oddělení hexatetraedrické (symbol –43m)

Tři krystalografické osy jsou totožné se třemi čtyřčetnými inverzními osami symetrie. Čtyři osy diagonální jsou totožné s trojčetnými osami a zároveň je přítomno šest diagonálních rovin symetrie (viz stereogram a obrázek 24-172). Při odvozování krystalových tvarů se střídavě uplatňují horní a dolní oktanty.

Polární trojčetné osy předpokládají tetraedrickou hemiedrii, kdy nad střídavými oktanty hexaoktaedru se zachovává plný počet ploch. Vzniká hexatetraedr pozitivní {hkl} a negativní {h-kl}, obrázky 24-173 a 24-174. Při zmenšování odvozovacích indexů na hodnoty n = m = 1 splyne šest ploch v jedinou a tvar se mění na tetraedr pozitivní {111} nebo negativní {1-11}, obrázky 24-175 a 24-176. Tvar lze odvodit rovněž z oktaedru střídavým vynecháváním horních a dolních ploch. Pozitivní a negativní tetraedr jsou geometricky ekvivalentní tvary a lze je rozeznat jen na vhodných spojkách.

Z obecného tvaru oddělení odvodíme trigon-tritetraedr pozitivní {hkk} a negativní {h-kk} (obrázek 24-177 a 24-178), když pro odvozovací parametry platí n = m > 1 a p < ∞. Pokud pro odvozovací parametry platí n = 1, m >1 a p < ∞, vzniká z trigon-trioktaedru hemiedr tetragon-tritetraedr pozitivní {hhl}, negativní {h-hl}, obrázky 24-179 a 24-180.

Morfologicky shodné s holoedrickým oddělením jsou tvary tetrahexaedru {hk0} (obrázek 24-170), rombického dodekaedru {110} (obrázek 24-168) a krychle {100} (obrázek 24-171).

2.4.7.3 Oddělení didokaedrické (symbol 2/m –3)

Tři krystalografické osy odpovídají dvojčetným rotačním osám symetrie a na ně jsou kolmé tři osní roviny symetrie. Ve směru tělesových úhlopříček krychle leží čtyři trojčetné inverzní osy (viz stereogram a obrázek 24-181).

Odvozujeme-li hemiedr k hexaoktaedru tak, že střídavě zachováváme plochy sdružené mezi sousedními oktanty podle hlavních osových rovin symetrie, dostaneme didokaedr ve dvou možných pozicích - pozitivní {hkl} a negativní {khl}, obrázky 24-181 a 24 182.

Dosáhne-li nejdelší odvozovací úsek plochy m = ∞, splynou plochy sousedních oktantů a poziční body se v projekci posunou na roviny symetrie. Vzniká pentagon-dodekaedr (dvanáctistěn pětiúhelníkový) pozitivní {hk0} a negativní {kh0}, obrázky 24-183 a 24-184. Pozitivní tvar převedeme do negativního otočením o 90°. Nejběžnějším krystalovým tvarem je {210}.

Další krystalové tvary jsou morfologicky shodné s hexaoktaedrickým oddělením, fyzikálními vlastnostmi však odpovídají symetrii 2/m-3: tetragon-trioktaedr {hkk} (obrázek 24-165), trigon-trioktaedr {hhl} (obrázek 24-167), oktaedr {111} (obrázek 24-163), rombický dodekaedr {110} (obrázek 24-168) a krychle {100} (obrázek 24-171).

2.4.7.4 Oddělení pentagon trioktaedrické (symbol 432)

V tomto oddělení najdeme nejúplnější možnou kombinaci os symetrie bez přítomnosti rovin a středu symetrie (viz stereogram a obrázek 24-185).

Střídavým vynecháváním ploch hexaoktaedru vzniká pentagon-trioktaedr (čtyřiadvacetistěn pětiúhelníkový) levý {hkl} nebo pravý {khl}, obrázky 24-185 a 24-186.

Všechny další přítomné krystalové tvary zachovávají morfologii holoedrického oddělení, ale fyzikálními vlastnostmi odpovídají symetrii 432:

· tetragon-trioktaedr {hkk} (obrázek 24-165),

· trigon-trioktaedr {hhl} (obrázek 24-167),

· oktaedr {111} (obrázek 24-163),

· tetrahexaedr {hk0} (obrázek 24-170),

· rombický dodekaedr {110} (obrázek 24-168)

· a hexaedr {100} (obrázek 24-171).

2.4.7.5 Oddělení pentagon tritetraedrické (23)

Krystalografickým osám odpovídají dvojčetné rotační osy symetrie a čtyři diagonální směry jsou totožné s trojčetnými rotačními osami symetrie (viz stereogram).

Obecný tvar odvodíme kombinací tetraedrické a dodekaedrické hemiedrie a výsledkem je kubická tetartoedrie – pentagon-tritetraedr. Tvar může být pozitivní pravý {khl}, pozitivní levý {hkl}, negativní pravý {h-kl} a negativní levý {k-hl}, obrázky 24-187, 24-188, 24-189 a 24-190.

Další odvoditelné tvary patří morfologicky tetraedrické nebo didokaedrické hemiedrii nebo holoedrii: trigon-tritetraedr pozitivní {hkk} a negativní {h-kk} (obrázky 24-177, 24-178), tetragon-tritetraedr pozitivní {hhl} a negativní {h-hl} (obrázky 24-179, 24-180), tetraedr pozitivní {111} a negativní {1-11} (obrázky 24-175, 24-176), pentagon dodekaedr pozitivní {hk0} a negativní {kh0} (obrázky 24-183, 24-184), rombický dodekaedr {110} (obrázek 24-168) a hexaedr {100} (obrázek 24-171).

Zpět na hlavní stránku