Contents

1 Introduction 3 Introduction (Français) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Introduction (English) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2 Exploring reciprocal space 9

Résumé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.2 Reciprocal space and angular representations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.3 Experimental scans in the reciprocal space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3 X-ray reflectivity from planar multilayers 17

Résumé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 3.2 Wave equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 3.3 Refraction index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 3.4 Dynamical theory of X-ray reflection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.4.1 Boundary conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 3.4.2 Penetration depth . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 3.4.3 Fresnel coefficients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 3.4.4 Reflection from a multilayer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 3.4.5 Single layer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.5 Kinematical theory of X-ray reflection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 3.6 Multilayers with the layer sequence given by a deterministic rule . . . . . . . . . 43

3.6.1 Periodic multilayer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 3.6.2 Fibonacci multilayer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.7 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

4 X-ray reflectivity from rough multilayers 51

Résumé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 4.2 Statistical properties of rough interfaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

4.2.1 Description of a single rough interface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 4.2.2 Description of rough interfaces in a multilayer . . . . . . . . . . . . . . . . 55 4.2.3 Root mean square roughness and the thickness fluctuations . . . . . . . . 56

4.3 Specular reflectivity from a rough multilayer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 4.3.1 Dynamical calculation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 4.3.2 Kinematical calculation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

4.4 Specular reflectivity measurements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 4.4.1 Instrumental factors in the specular reflectivity measurements . . . . . . . 61 4.4.2 TbFe_{2} sandwich multilayer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 4.4.3 NbSi periodic multilayers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

4.5 Incoherent scattering: Distorted-wave Born approximation calculation . . . . . . 65 4.5.1 Distorted-wave Born approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 4.5.2 Calculation of the coherent reflectivity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 4.5.3 Diffuse scattering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

4.6 Reflectivity map of a periodic multilayer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 5 X-ray reflectivity from multilayer gratings 77

Résumé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 5.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 5.2 Review of the published work . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 5.3 General characteristics of multilayer gratings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 5.4 Kinematical theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 5.5 Distorted-wave Born approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

5.5.1 Specular scan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 5.5.2 Non-specular scans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

5.6 Dynamical theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 5.6.1 Wavefields and the dispersion relation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 5.6.2 Boundary conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 5.6.3 Relation to the Fresnel coefficients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 5.6.4 Two-beam case and multiple-beam approximations of the dynamical theory105

5.7 Discussion of the reflectivity from a perfect rectangular surface grating . . . . . . 109 5.7.1 Intensity of the diffracted waves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 5.7.2 Specular reflectivity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 5.7.3 Azimuthal angle dependence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

5.8 Other grating structures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 5.8.1 Quasiperiodic gratings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 5.8.2 Trapezoidal gratings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

5.9 Rough gratings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 5.9.1 Rough side walls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 5.9.2 Rough interfaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

5.10 Experiment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 5.11 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

6 Conclusion 137 Conclusion (Français) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 Conclusion (English) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

Bibliography 147