Vyjádřování prvočísel kvadratickými formami

Project Identification
SOC/1308/2016
Project Period
9/2016 - 2/2017
Investor / Pogramme / Project type
South Moravian Centre for International Mobility
MU Faculty or unit
Faculty of Science

Cílem práce bude popsat, co jsou to pozitivně definitní kvadratické formy s celočíselnými koeficienty a co to znamená, že vyjadřují nějaké prvočíslo, definovat jejich ekvivalenci, vysvětlit, co je to redukovaná forma a že každá forma je ekvivalentní s právě jednou redukovanou, definovat, co je to kvadratický zbytek a popsat základní vlastnosti Legendreova symbolu, vysvětlit, proč formy vyjadřují jen ta lichá prvočísla, pro která je diskriminant kvadratickým zbytkem. Dále pak vysvětlit, co jsou to geny forem a zmínit, že pokud máme více redukovaných forem téhož genu, nelze už vyjadřovaná prvočísla danou formou charakterizovat jen nějakou kongruencí modulo absolutní hodnota diskriminantu, ale přibude zde podmínka, popsatelná pomocí jistého ireducibilního polynomu, jehož stupeň je roven počtu redukovaných forem daného diskriminantu. Kvůli omezení obvyklým rozsahem práce SOČ však téměř nic z výše uvedeného nebude možné v sepisované práci dokazovat, ale bude třeba tyto pojmy a tvrzení ilustrovat na vhodně zvolených příkladech.
Jde tedy o teoretickou práci, jejíž řešitel bude studovat z anglicky psané učebnice D. A. Coxe "Primes of the form x^2 + n y^2," která je určena pokročilým vysokoškolským studentům.